Родился 19 февраля 1919 года в крестьянской семье в селе Ново-Ивановское Донецкой области Украины. Отец — Самарский Андрей Ефимович (1855—1941). Мать — Самарская-Дейнего Елена Никитична (1880—1920). Брат — Самарский Андрей Андреевич (1907 г. рожд.). Сестра — Самарская Анастасия Андреевна (1910 г. рожд.). Супруга — Уразбаева Атия Ташевна (1924 г. рожд.). Дочери — Самарская Елена Александровна (1953 г. рожд.); Татьяна Александровна (1964 г. рожд.). Внучка — Александра Юрьевна.

Александр учился сначала в сельской школе, затем — в городе Донецке. В 1933 году семья переехала в Таганрог, где он окончил с отличием среднюю школу имени А.П. Чехова. Это была гимназия, в которой учился сам Антон Павлович.

В 1936 году он был принят на физический факультет МГУ. В 1939 году начал работать в научном семинаре академика А.Н. Тихонова.

В июле 1941 года, окончив 4 курса МГУ, Александр Андреевич вступил добровольцем в 8-ю Краснопресненскую дивизию народного ополчения Москвы и был направлен телефонистом в отдельный батальон связи дивизии. Этот батальон состоял в основном из студентов (физического и географического факультетов МГУ). Впервые его батальон оказался на передовой, когда началось генеральное наступление фашистских войск на Москву.

После прорыва нашей обороны возникла угроза окружения, началось отступление к Вязьме и затем к Москве. Самарский оказался бойцом разведроты 108-й дивизии. Эта дивизия участвовала в боях под Наро-Фоминском, Звенигородом и Павловской Слободой. Шли тяжелые кровопролитные бои местного значения. Было много потерь. Никого из студентов МГУ с Самарским уже не было. 10 декабря 1941 года началось наступление его дивизии, а 12 декабря, находясь с группой бойцов в разведке, он подрывается на мине. Был тяжело ранен в обе ноги и отправлен в тыл. Дальше — лечение в течение девяти месяцев в госпиталях Москвы, Горького и Красноярска.

В сентябре 1942 года Александра Андреевича выписали на костылях из последнего госпиталя города Минусинска, что в Красноярском крае. В это время МГУ был эвакуирован из Москвы в Свердловск и Ашхабад, а его родина — оккупирована. Поэтому ему пришлось остаться в Красноярском крае, где он стал учителем математики средней школы на золотом прииске «Коммунар» в Ширинском районе, расположенном глубоко в тайге, в 70 километрах от железной дороги. В конце декабря 1943 года его вызвали в Москву, где он и продолжил учебу на физическом факультете МГУ. До войны Александр Андреевич мечтал о педагогической работе в школе, однако во время войны в стране колоссально вырос интерес к науке и спрос на нее. Особенно это чувствовалось на физфаке МГУ. Это и повлияло на его дальнейшую судьбу. После окончания университета в 1945 году он поступает в аспирантуру к А.Н. Тихонову по профилю математической физики.

Академик Андрей Николаевич Тихонов, ученик академика П.С. Александрова, по образованию был чистым математиком, имел фундаментальные работы в топологии, функциональном анализе, теории дифференциальных уравнений, однако он проявлял всевозрастающий интерес к прикладным задачам естествознания: физике, химии, геофизике как источнику постановки новых математических задач. О его интересе к прикладным задачам говорит тот факт, что он в качестве дипломной работы предложил Самарскому чисто экспериментальную работу. Однако как-то получилось так, что эта работа привела одаренного аспиранта к очень интересной математической проблеме, теоретическому решению которой и был посвящен диплом.

В аспирантуре помимо кандидатской диссертации Самарский выполнил никак не связанные с ней 19 научных работ, посвященных динамике сорбции и десорбции смеси газов и теории распространения и возбуждения электромагнитных волн в радиоволноводах. Совместно с А.Н. Тихоновым была построена строгая математическая теория радиоволноводов.

После защиты кандидатской диссертации в 1948 году молодого ученого направляют в группу А.Н. Тихонова, созданную решением правительства специально для численного решения оборонных задач. Речь шла о расчете энерговыделения ядерных, а вскоре и термоядерных зарядов. А.Н. Тихонов тогда впервые высказал предложение провести прямые расчеты ядерного заряда на основе полной математической модели в переменных Лагранжа, т. е. системы нелинейных уравнений в частных производных, интегральных и интегродифференциальных уравнений. Разработка численных методов была поручена Самарскому. Расчеты изделий были начаты уже в 1948 году, и первые результаты получены в 1949 и 1950 годах. В решении таких задач на калькуляторах «Мерседес» участвовало около 40 человек — так называемый «вычислительный конвейер». Применялись соответствующие методы распараллеливания вычислений, которые позволили сократить время расчетов в 10—20 раз.

Вычислительная математика в то время была еще в зародыше. Необходимо было найти эффективные и надежные численные методы для решения возникших задач беспрецедентной сложности. Такие методы создавались, применялись для расчета энерговыделения изделий, проводились физические испытания, совершенствовались методы и технология. Работа велась в контакте с крупнейшими физиками — И.Е. Таммом, А.Д. Сахаровым, Я.Б. Зельдовичем. С 1950 года началась эра термоядерных изделий, расчет которых породил много вычислительных трудностей. Они были успешно преодолены, что привело в дальнейшем к созданию программ первых советских ЭВМ для расчета ядерных и термоядерных изделий. Это позволило проводить математическое моделирование реальных изделий до, а иногда и вместо физических их испытаний. Так создавалось новое направление на стыке наук — математическое моделирование и вычислительный эксперимент как новая методология и технология исследований.

В 1953 году группа А.Н. Тихонова объединилась с группой М.В. Келдыша и было создано Отделение прикладной математики АН СССР. Директором стал академик М.В. Келдыш, заместителем директора по науке — академик А.Н. Тихонов, а Самарский был назначен заведующим отделом.

Появление ЭВМ в 1953—1954 годах открыло новые возможности для проведения вычислительного эксперимента и позволило на наших довольно слабых компьютерах решать необходимые для обороны задачи. Это оказалось возможным благодаря разработке эффективных численных методов и оптимизации триады: модель — алгоритм — программа как ядра вычислительного эксперимента. Созданные Отделением прикладной математики АН СССР методы, алгоритмы и комплексы программы позволили перейти к проведению циклов исследований методами вычислительного эксперимента многих актуальных задач ядерной физики, физики плазмы и управляемого термоядерного синтеза, автокаталитических процессов в химии, задач лазерной термохимии и конвекции. В ходе исследования указанных задач формировалась иерархия моделей изучаемых явлений, разрабатывались как аналитические, так и численные методы решения нелинейных уравнений, описывающих сложные комплексы процессов. Одновременно шли многолетние совместные работы с коллективом академика Н.Г. Басова в ФИАНе по изучению проблем лазерного термоядерного синтеза.

Проведение вычислительного эксперимента невозможно без гармоничного сочетания глубокого изучения математических моделей и адекватных численных методов. В качестве примера можно указать открытие в плазме нового физического эффекта — Т-слоя, а также эффекта локализации в нелинейных средах.
В 1957 году Самарский защищает докторскую диссертацию, в 1966 году его избирают членом-корреспондентом, а в 1976 — академиком АН СССР по специальности «математика». В 1986 году было издано постановление правительства СССР о мерах по развитию математического моделирования в стране и об организации Всесоюзного центра по математическому моделированию (в настоящее время это Институт математического моделирования РАН), директором-организатором которого и был назначен А.А. Самарский.

Научные разработки нового института связаны с широким кругом фундаментальных проблем моделирования и новых информационных технологий, включая построение математических моделей и вычислительных алгоритмов, составлением, тестированием, применением пакетов прикладных программ для инженерных и учебных задач.

Более 50 лет академик А.А. Самарский преподает в МГУ на факультетах физическом, механико-математическом и вычислительной математики и кибернетики. Он организовал на факультете вычислительной математики и кибернетики кафедру вычислительных методов с двумя лабораториями (разностных схем и математического моделирования), а также кафедру математического моделирования в Московском физико-техническом институте.
Своими научными достижениями академик А.А. Самарский способствовал повышению уровня обороноспособности нашей страны. Его расчеты и моделирование ядерных и термоядерных изделий помогли ученым и инженерам практически решить проблемы создания ракетного ядерного и термоядерного щита нашей Родины.

Александр Андреевич, будучи блестящим педагогом, подготовил свыше 100 кандидатов наук, из которых более 40 защитили докторские диссертации, среди которых — представители всех республик бывшего СССР, а также Болгарии, Венгрии, Польши Германии.

Александр Андреевич — заслуженный профессор МГУ. Он автор 30 монографий, учебников и популярных книг. Некоторые из них подготовлены в соавторстве с А.Н. Тихоновым, П.И. Будаком, Е.С. Николаевым. Это учебные пособие «Уравнения математической физики» и «Сборник задач по математической физике», переведенные на многие иностранные языки. По теории численных методов издана большая серия книг: «Теория разностных схем», «Введение в численные методы», «Численные методы», «Устойчивость разностных уравнений», «Методы решения сеточных уравнений».

Александр Андреевич — председатель Научного совета по математическому моделированию РАН, президент национального комитета РФ по математическому моделированию, главный редактор журнала «Математическое моделирование», заместитель академика-секретаря Отделения информатики РАН, почетный доктор Технического университета в городе Хемнице (Германия), Тбилисского, Киевского, Ростовского университетов и других.

Академик А.А. Самарский — Герой Социалистического Труда, лауреат Ленинской и Государственной премий, награжден тремя орденами Ленина, орденами Октябрьской Революции, Трудового Красного Знамени, Дружбы народов. За боевые заслуги ему были вручены орден Славы III степени и орден Отечественной войны I степени.

А.А. Самарский увлекается философией, любит художественную литературу.

Живет и работает в Москве.