Родился 29 января 1915 года в Туле. Отец — Бургасов Николай Иванович (1886—1939). Мать — Сорокина Екатерина Васильевна (1892—1975). Супруга — Бургасова Татьяна Матвеевна (1917—1994), участница Великой Отечественной войны, хирург. Сыновья: Бургасов Михаил Петрович (1941—1996); Бургасов Сергей Петрович (1946—1981), кандидат медицинских наук. Дочь — Бургасова Марина Петровна (1947 г. рожд.), кандидат медицинских наук. Внуки: Бургасов Кирилл Владимирович (1972 г. рожд.); Балимов Дмитрий Владимирович (1981 г. рожд.); Бургасов Петр Сергеевич (1981 г. рожд.).

После окончания школы ФЗУ Петр Бургасов работал слесарем на Тульском оружейном заводе. Вечерами учился на медицинском рабфаке, по окончании которого в 1933 году был зачислен на первый курс 2-го Московского медицинского института, на врачебно-физкультурный факультет. В студенческие годы Бургасов вел занятия в кружках ГСО («Готов к санитарной обороне»).

В 1938 году П.Н. Бургасов окончил институт и поступил в аспирантуру Всесоюзного института экспериментальной медицины имени А.М. Горького по разделу особо опасных инфекций (чума, туляремия и др.), где его научными руководителями были академик П.Ф. Здродовский и М.К. Крантовская, а затем профессор Леонид Моисеевич Хатаневер — крупный ученый и замечательный человек, ставший для него наставником в жизни и научной работе.

Когда началась советско-финляндская война, П.Н. Бургасов был зачислен добровольцем в 72-й комсомольский добровольческий легко-лыжный батальон, а затем назначен начальником санитарной службы 612-го мотострелкового полка, в составе которого участвовал в боевых действиях. В этот период он получил воинское звание военврача 3-го ранга. В 1940 году П.Н. Бургасов демобилизовался из армии, окончил аспирантуру.

В начале августа 1941 года Петра Николаевича направили начальником лаборатории в госпиталь № 1853. Вскоре он был назначен начальником хирургического отделения, а через несколько месяцев — начальником эвакогоспиталя № 3740 (станция Хвойная), затем — начальником санитарно-эпидемического отделения санитарного отдела 4-й армии (в дальнейшем 4-я армия была переформирована в 59-ю армию). П.Н. Бургасов воевал на Ленинградском, Волховском и 1-м Украинском фронтах: участвовал в боях по снятию блокады Ленинграда, освобождал Новгород, Краков, Прагу.

После войны П.Н. Бургасов был назначен на должность старшего инспектора отдела в Главное военно-медицинское управление, в аппарат генерал-майора Т.Е. Болдырева. В апреле 1950 года его перевели в аппарат Л.П. Берия, в группу В.А. Махнева, где он занимался вопросами защиты населения и войск от биологического оружия.

После смерти Л.П. Берия в июне 1953 года П.Н. Бургасова назначают начальником 1-го отдела 7-го управления Генштаба, где он служил до 1958 года, когда по собственному желанию был переведен на должность научного руководителя в Свердловский военно-технический институт. Работая в «городке 19», Петр Николаевич занимался созданием средств защиты войск и населения от бактериологического оружия — ботулинических токсинов и возбудителя сибирской язвы. В эти годы он защитил докторскую диссертацию, в соавторстве издал руководство по сибирской язве и ботулиническим токсинам.

6 апреля 1979 года в Коллегию Минздрава СССР поступила информация о появлении в Свердловске сибирской язвы. В городе возникла паника… П.Н. Бургасов в составе группы специалистов, в которую вошли главный инфекционист РСФСР В.Н. Никифоров, опытный эпидемиолог И.С. Безденежных и врач-инфекционист С.П. Бургасов (сын П.Н. Бургасова), срочно вылетел в Свердловск. Благодаря их стараниям удалось спасти от смертельной болезни несколько десятков человек.

В 1965 году П.Н. Бургасов был назначен главным государственным санитарным врачом СССР. За 21 год работы в этой должности ему не раз приходилось организовывать работу в очагах эпидемий, принимать ответственные, а порой и непопулярные решения.
В июне—сентябре 1970 года Петр Николаевич занимался организацией борьбы с холерой Эль-Тор в Батуми и в Астрахани. В очаге эпидемии вместе с ним работали инициативные и грамотные специалисты, клиницисты, среди которых были академик В.И. Покровский и профессор В.Н. Никифоров, а также опытный организатор здравоохранения Л.П. Лыкова. Благодаря предпринятым мерам из 800 человек, заболевших холерой, скончался только один. Дальнейшее распространение болезни было остановлено.

В 1971 году возбудитель холеры Эль-Тор был обнаружен в водохранилище под Новосибирском. В регионе возникла угроза распространения заболевания. П.Н. Бургасов срочно собрал руководителей промышленных предприятий и обратился к ним с настоятельной просьбой сбросить немедленно в канализацию все находившиеся у них кислотные материалы, несмотря на то, что это решение нарушало правила, запрещавшие такой сброс, который мог повредить оборудование канализационных систем. Возможная эпидемия была предотвращена.

Результаты научных исследований, богатый профессиональный и жизненный опыт П.Н. Бургасова нашли отражение в его книгах: «Сибирская язва» (1970), «Натуральная оспа» (1972), «Прививочное дело» (1983), «Сибиреязвенная инфекция» (1984), «Антимикробный конституциональный иммунитет» (1985), «Синдром приобретенного иммунодефицита» (1999), «Я верил. Воспоминания» (2001).

В 1969 году П.Н. Бургасов избран академиком АМН СССР. Профессор, генерал-майор медицинской службы в отставке. Он награжден двумя орденами Ленина, орденами Отечественной войны I и II степени, орденами Красного Знамени, Красной Звезды, Дружбы народов, кубинским орденом Финлея, Золотым орденом ГДР, медалями, дипломом Российской академии естественных наук, почетной медалью «За практический вклад в укрепление здоровья нации». За работы в области социальной гигиены П.Н. Бургасов в 1996 году удостоен премии имени Е.И. Смирнова. Академик Академии медико-технических наук.

П.Н. Бургасов награжден дипломом Европейской академии естественных наук, дипломом Альберта Швейцера, сертификатом Всемирной организации здравоохранения (за вклад в ликвидацию в стране полиомиелита), золотой медалью ВДНХ СССР.

Увлекается рыбной ловлей.

Живет и работает в Москве.