Родился 7 ноября 1916 года в селе Курсеби, недалеко от древнего города Кутаиси, в семье крестьянина-единоличника. Отец — Алпаидзе Елисей Павлович (1860—1948). Мать — Алпаидзе (Сирбиладзе) Кесария Харитоновна (1879—1972). Супруга — Алпаидзе (Медведева) Александра Степановна (1921—1995), участница Великой Отечественной войны, награждена орденами и медалями, работала фельдшером. Сын — Алпаидзе Шота Галактионович (1944 г. рожд.), предприниматель. Дочь — Набокова (Алпаидзе) Натела Галактионовна (1950 г. рожд.), врач госпиталя города Мирный Архангельской области. Сын — Алпаидзе Георгий Галактионович (1960 г. рожд.), окончил Военный институт, работал переводчиком в воинских частях, капитан запаса.

В 1931 году, успешно окончив семилетку, Галактион поступает на Курсебский гранитный завод. После более чем двухлетней работы на заводе он сдает вступительные экзамены на электротехнический факультет Кутаисского индустриального техникума. С 1937 года, защитив диплом, работает дежурным электриком Рионской гидроэлектростанции.

Но юноша мечтает о военной службе. И здесь, как признаётся Галактион Елисеевич, имя и героические дела Багратиона сыграли в его дальнейшей судьбе решающую роль. В сентябре 1938 года Алпаидзе поступает на артиллерийский факультет Закавказской пехотной школы, которая вскоре была переименована в Тбилисское артиллерийское училище. В феврале 1940 года в связи с событиями на финской границе в училище состоялся досрочный выпуск курсантов. Галактиону Алпаидзе присваивается воинское звание лейтенант, и он направляется в 584-й запасной артиллерийский полк командиром огневого взвода.

Полк располагался в городе Борисоглебске Воронежской области и занимался подготовкой артиллеристов с последующей отправкой их на фронт. После завершения советско-финляндской войны полк был расформирован. К началу Великой Отечественный войны лейтенант Алпаидзе становится командиром батареи 32-го стрелкового полка 19-й стрелковой дивизии.

Боевое крещение молодого офицера-артиллериста состоялось на подступах к Смоленску в июле 41-го. После напряженных оборонительных боев из разрозненных подразделений была сформирована 53-я стрелковая дивизия, в которой командиром батареи 36-го артиллерийского полка стал Алпаидзе.

Первую боевую награду — орден Красной Звезды — Галактион Алпаидзе получил в конце 1941 года. В ходе Московской битвы в районе города Малоярославец Калужской области артиллеристы батареи лейтенанта Алпаидзе захватили два немецких орудия и большое количество боеприпасов к ним. Орудия развернули в сторону противника, и батарейцы прямой наводкой уничтожали наблюдательные пункты, технику и живую силу врага.

Спустя десятилетия, в канун 40-й годовщины Победы, Галактион Елисеевич Алпаидзе был удостоен звания почетного гражданина города Малоярославец. Решающую роль в этом сыграл вышеописанный эпизод из военной биографии офицера-артиллериста.

Сентябрь 1943 года. Десантники 53-й стрелковой дивизии форсируют Днепр в районе Верхнеднепровска. К этому времени Алпаидзе уже заместитель командира артполка. Все орудия полка на правобережном плацдарме. В ходе ожесточенных боев командир полка Шарапов ранен. Командование полком принимает Алпаидзе. Вскоре и он получает ранение, но продолжает руководить боем. Немцам не удалось столкнуть десантников в Днепр. Выстояв, они перешли в решительное наступление.

За два года службы в дивизии Алпаидзе занимает должности заместителя командира и командира дивизиона, начальника штаба артполка, заместителя командира и, наконец, командира артиллерийского полка.

В ноябре после ранения и излечения Галактион Алпаидзе назначается командиром 972-го артиллерийского полка 113-й стрелковой дивизии, сформированной в начале войны из ополченцев Фрунзенского района города Москвы. Этим полком он будет командовать до победы и еще год после войны.

Война приближалась к концу. В одну из февральских ночей гитлеровское командование предприняло отчаянную попытку перейти в наступление с целью недопущения наших войск на территорию Австрии. Танковая группировка фашистов, наводившая страх на союзнические войска в Арденнах, переброшенная на Восточный фронт, имела приборы ночного видения. После безуспешной дневной атаки она предприняла неожиданную ночную атаку, что было нехарактерно для немцев. На пути атакующих находились орудия 972-го артполка.

Майор Галактион Алпаидзе понимал: вести прицельный огонь по немецким танкам ночью невозможно — обнаружишь себя, не поразив вражеской цели. Нужно было искать выход из сложившейся ситуации. И выход был найден. В нейтральной полосе виднелись стога сена. Артиллеристы по приказу командира полка пробрались к этим стогам и, облив их бензином, подожгли.

В ночном бою артполк поджег десять фашистских танков «тигр», уничтожил добрый десяток пулеметных «гнезд», а также много орудийных расчетов противника. В этом бою Галактион Алпаидзе был ранен и контужен, временно утратил слух. Поэтому о действиях полка ему доносили письменно. Не покидая поле боя, он отдавал необходимые распоряжения через своего адъютанта...

Указом Президиума Верховного Совета СССР 28 апреля 1945 года Галактиону Елисеевичу Алпаидзе было присвоено звание Героя Советского Союза.

После провала немецкого контрнаступления в Венгрии, 113-я стрелковая дивизия с боями продвигалась на запад и завершила войну в районе австрийского города Грац.

В 1946 году подполковник Алпаидзе избирается депутатом Верховного Совета СССР от особого избирательного округа Южной группы советских войск. В дальнейшем становится слушателем Военной академии имени Ф.Э. Дзержинского. По ее окончании в звании полковника назначается командующим артиллерии стрелковой дивизии, дислоцировавшейся в Сталинграде.

С 1953 по 1955 год Алпаидзе — начальник отдела боевой подготовки наземной и зенитной артиллерии Северо-Кавказского военного округа. Оттуда направляется в Военную академию Генерального штаба. По окончании академии в 1957 году становится командиром 4-й артиллерийской дивизии прорыва Резерва Верховного Главнокомандования. В 1959 году в связи с созданием Ракетных войск дивизия была расформирована. Галактион Елисеевич получает новое назначение - первым заместителем 4-го Государственного центрального полигона в районе Капустина Яра. В этом качестве в конце 1962 года генерал-майор Алпаидзе возглавляет экспедицию по выбору места нового испытательного полигона ракет и космических аппаратов. Таким полигоном становится район Плесецка, что в Архангельской области. Галактион Елисеевич назначается начальником Научно-исследовательского испытательного полигона Министерства обороны СССР — космодрома Плесецк. По долгу службы генерал-лейтенанту (звание получено в 1967 году) Алпаидзе доводилось быть непосредственным участником испытаний и принятия на вооружение ряда видов новой ракетной и космической техники.

В 1975 году Алпаидзе выходит в запас и вскоре назначается заместителем директора — главного конструктора Московского института теплотехники, где проработал до 1992 года. В этот период, учитывая заслуги генерал-лейтенанта Алпаидзе в развитии космической отрасли, ему присваивается звание почетного гражданина города Мирный, что в районе космодрома Плесецк. На его родине в Грузии он — почетный гражданин города Ткибули — районного центра, в который входит его родное село Курсеби.

Герой Советского Союза Г.Е. Алпаидзе награжден орденом Ленина, двумя орденами Красного Знамени, Александра Невского, Отечественной войны I степени, Трудового Красного Знамени, четырьмя орденами Красной Звезды, румынским и венгерским орденами, медалями. В 1976 году он становится лауреатом Государственной премии СССР.

До серьезного заболевания ног, связанного с тремя ранениями на фронте, Галактион Елисеевич был заядлым охотником, а также членом президиума Федерации зимнего плавания и закаливания холодом города Москвы.

Живет в Рязани.